Il est appelé nombre premier pour chaque nombre naturel qui ne peut être divisé que par 1 et par lui-même . Pour citer un exemple: 3 est un nombre premier, alors que 6 ne l’est pas puisque 6/2 = 3 et 6/3 = 2.

Pour parler de la qualité d'être un cousin, le terme primalité est utilisé. Étant donné que le seul nombre premier pair est 2, il est généralement cité comme un nombre premier impair pour tout nombre premier plus grand que celui-ci.

La conjecture de Goldbach, proposée par le mathématicien Christian Goldbach en 1742, indique que tout nombre pair supérieur à deux peut être exprimé par la somme de deux nombres premiers (4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3 ). Etant donné qu'aucun mathématicien ne pouvait trouver un nombre pair supérieur à 2 qui ne pourrait pas être exprimé par la somme de deux nombres premiers, on pense que la conjecture est vraie, bien qu'elle ne puisse jamais être prouvée.

La primalité est très importante car elle implique que chaque nombre peut être considéré comme un produit de nombres premiers. Cette factorisation, par contre, sera toujours unique.

Vers 300 avant JC, le mathématicien grec Euclides avait déjà montré que les nombres premiers étaient infinis. Certaines règles vous permettent de vérifier si un nombre est premier: par exemple, un nombre qui se termine par 0, 2, 4, 5, 6 ou 8, ou dont les chiffres ajoutent un nombre divisible par 3, n'est pas un nombre premier. En revanche, les nombres qui se terminent par 1, 3, 7 ou 9 peuvent être des nombres premiers ou non.

Les nombres qui ne sont pas des nombres premiers (c'est-à-dire ceux qui ont des diviseurs naturels en plus de 1 et de lui-même) sont connus sous le nom de nombres composés . Par convention, 1 n'est pas défini comme un nombre premier ni comme un composé.

Les applications des nombres premiers sont nombreuses et sont souvent liées aux techniques de cryptage. Par exemple, dans le cas de l'algorithme appelé RSA, une clé est obtenue par la multiplication de deux nombres premiers supérieurs à 10100; comme il n’existe aucun moyen de prendre en compte rapidement un nombre aussi élevé avec des ordinateurs classiques, il est très fiable.

Systèmes de cryptage

Étant donné que l'être humain a besoin de protéger certaines informations, des systèmes de cryptage ont été créés, qui permettent à un utilisateur connaissant les instructions spécifiques de le décoder d' accéder uniquement à un message spécifique. Ces procédures cryptographiques remontent à des civilisations très anciennes, bien que, grâce aux progrès des mathématiques et à l’intérêt de ces techniques pour l’armée, sa complexité s’est considérablement accrue depuis ses débuts.

Pour chiffrer un message, il est nécessaire d'utiliser une clé permettant de le convertir en texte illisible. Une fois reçue, selon la technique utilisée, pour la déchiffrer, il sera nécessaire d’utiliser une autre clé, qui peut être identique ou non à la première. Les deux systèmes de chiffrement connus sont appelés clé symétrique et clé secrète .

Le système de clé secrète utilise deux clés identiques ou différentes, la clé de déchiffrement pouvant être déduite de la clé de chiffrement. Le système symétrique, également appelé clé publique, utilise deux clés différentes; il est absolument nécessaire de connaître les deux, car ils ne présentent aucune indication qui permette logiquement d'intuitionner l'un ou l'autre.

Le secret de ce dernier système réside dans le fait qu’il repose sur les fonctions de pièges bien connues; ce sont des formules mathématiques dont le calcul direct est facile, mais qui nécessitent un grand nombre d'opérations pour effectuer l'inverse. Précisément, dans le cas de la cryptographie de type asymétrique, ces fonctions sont basées sur la multiplication de nombres premiers.